Jeg har alltid vært fascinert av logikk. Logikk finnes i mange former, fra den filosofiske logikken knyttet til retorikk, til det rent formelle og matematiske. Man har predikatlogikk av varierende orden, modallogikk, flytende logikk – systemer for ethvert hjerte. Og hvor tilfredsstillende er det ikke å fordype seg i et komplisert bevis for et teorem, og plutselig se hvordan det henger sammen, hvorfor det beviser teoremet? Det er som å få fatt i en bitte liten bit av den store sammenhengen, av universet. Beviset for Gödels ufullstendighetsteorem er ikke bare matematikk, det er også kunst.
Mange matematikere finner stor skjønnhet i fraktaler. Selv har jeg en kanskje uforklarlig fascinasjon for konseptet tellbar uendelighet.
Tellbarhet kan forklares som en linje som utvider seg i bare en retning. Hvis man bruker tall som eksempel, og tillater bare tallene 1, 2, 3 og så videre, så har man et tellbart domene. Hvis man derimot tillater alle desimaler – 1.1, 1.01, 1.001, 2, 2.00004 og videre, så har man et domene som ikke utvider seg i bare en retning, men i mange. Man teller ikke bare “oppover”, man teller også “bortover” samtidig.
Tellbar uendelighet er et viktig konsept i sett-teori og logikk generelt. Ideen om at noe kan telles og samtidig være uendelig synes jeg er ganske fin. Du vet alltid hva neste skritt er – du kan alltid regne deg fram til et hvilket som helst skritt senere på veien – og likevel er det alltid noe mer som venter forbi det stedet du sluttet å telle.
Tags: logikk, matematikk, sett-teori, tellbar uendelighet
Uendeligheten utdyper vel egentlig bare tallrommet. Tenker vi på tallinjen som kontinuerlig har man plass til uendelig mange tall mellom to hele tall. Dermed så er en kontinuerlig talllinje uendelig lang, men også med plass til uendelig antall relle tall mellom to reelle tall.
Da jeg studerte matematikk var jeg mest opptatt av størrelsen på undeligheter. Enkelte funksjoner går mot uendelig mye fortere enn andre, dette kan man f.eks. bruke til å sjekke konvergerbarhet for enkelte rekker og følger som gjerne inneholder komplekse uttrykk som går mot uendelig i forskjellige hastigheter…
Det er der forskjellen mellom tellbar og ikke-tellbar uendelighet kommer inn. Uendeligheten du beskriver er av den ikke-tellbare sorten, altså der det både finnes uendelig antall heltall og uendelig antall tall mellom to heltall.
diskuterte begrepene absolutt og relativ med en geolog i fylla. ting henger sammen.
[…] Hvorfor? Uendelig er nemlig ikke et tall. Utfordringen var å finne det lengste forbindelsesrekken. Der ingen forbindelse eksisterer, kan man heller ikke tallfeste avstanden mellom to punkter. De som gjerne vil fundere litt mer på konseptet uendelighet, kan kose seg med min gamle bloggpost fra 2004 om tellbar uendelighet. […]